Jag läste Satellitbanor - modeller, metoder och applikationer av Montenbruck & Gill och försökte använda ekvationerna i den för att beräkna $ J_2 $ som används i GEM- och JGM-gravitationsmodellerna. Under arbetet med detta hittade jag följande uttalande: "Även om definitionen av geopotentiella koefficienter $ C_ {nm} $ och $ S_ {nm} $ är ganska komplicerat vid första anblicken. Man kan ändå få några enkla resultat om man bara överväger låggradiga och ordningskoefficienter, eller om man använder en ungefärlig modell för markdensitetsvariation.

Boken beräknar $ C_ {00} = 1 $ och $ C_ {10 } = 0 $ (det andra resultatet gäller endast om centrum för koordinatsystemet väljs som jordens masscentrum). Den allmänna ekvationen för $ C_ {nm} $ är $$ C_ {nm} = \ frac {2 - \ delta_ { 0m}} {M_ \ oplus} \ frac {(nm)!} {(N + m)!} \ Int \ frac {s ^ n} {R_ \ oplus ^ n} P_ {nm} (\ sin \ phi ' ) \ cos (m \ lambda ') \ rho (\ mathbf {s}) d ^ 3 \ mathbf {s} $$

Vid beräkning av $ C_ {20} $ , jag måste $$ C_ {20} = \ frac {1} {M_ \ oplus R_ \ oplus ^ 2} \ int s ^ 2 \ left (\ frac {3} {2} \ sin ^ 2 \ phi '- \ frac {1} {2} \ right) \ rho (\ mathbf {s}) d ^ 3 \ mathbf {s} $ $ $$ C_ {20} = \ frac {1} {M_ \ oplus R_ \ oplus ^ 2} \ left (\ frac {3} {2} \ int z '^ 2 \ rho (\ mathbf {s}) d ^ 3 \ mathbf {s} - \ frac {1} {2} \ int s ^ 2 \ rho (\ mathbf {s}) d ^ 3 \ mathbf { s} \ höger) $$

Jag är inte säker på hur jag ska gå vidare, eller om det är värt att försöka fortsätta. Om dessa koefficienter bestäms empiriskt för order 2 och högre verkar det som om någon analytisk lösning för dessa värden skulle kräva kunskap om en viss mängd som vi inte kan mäta direkt (kräver en ungefärlig densitetsmodell eller andra förenklingar för en analytisk lösning som tidigare angivits i boken).

Jag har läst igenom flera artiklar som letat efter ett svar men har inte lyckats hitta något avgörande:

• The Joint Gravity Modell 3 (Tapley et al. 1996)
• Gravity Model Development for TOPEX / POSEIDON: Joint Gravity Models 1 and 2 (Nerem et al. 1994)
• Gravity Model Improvement Using Geos 3 (GEM 9 and 10) (Lerch, Klosko, Laubscher, and Wagner, 1979)
• Gravitationella fältmodeller för jorden (GEM 1 & 2) (Lerch, Wagner, Smith, Sandson, Brownd och Richardson 1972)
• Omarbetade värden för koefficienter för zoniska sfäriska övertoner i geopotentialen (Kozai 1969)
• Numerisk R resultat från banor (Kozai 1962)
• Zonal Harmonics of the Earth's Gravitational Field and the Basic Hypothesis of Geodesy (O'Keefe 1959)

Några av de tidiga artiklarna verkar beräkna värden från satellitbanor, men det anges inte uttryckligen att dessa koefficienter inte kan hittas analytiskt.

Sammanfattningsvis är $ J_2 $ , $ J_3 $ etc. empirisk eller inte?